Kennst du die Halbwertszeit oder Haltbarkeit t₁ bei einer Temperatur T₁, kannst du damit abschätzen, wie lange es bei einer anderen Temperatur T₂ dauert – oder bei welcher Temperatur du eine gewünschte Haltbarkeit erreichst. Der Rechner nutzt dafür die Arrhenius-Gleichung mit der Aktivierungsenergie Ea und löst nach t₁, T₁, t₂, T₂ oder Ea auf. Praktisch z.B. für Lagertemperaturen, Kühlkette oder Alterungsprozesse.
Du willst stattdessen direkt die Geschwindigkeitskonstante k berechnen? Nutze unseren Arrhenius-Rechner.
Fast alle Zerfalls-, Abbau- und Alterungsprozesse laufen bei höherer Temperatur schneller ab – eine Faustregel besagt, dass sich die Geschwindigkeit pro 10 °C Temperaturerhöhung etwa verdoppelt bis verdreifacht (RGT-Regel). Genauer lässt sich das mit der Arrhenius-Gleichung berechnen.
Kennst du eine Haltbarkeit bei einer Temperatur, kannst du sie damit auf jede andere Temperatur umrechnen – ganz ohne den präexponentiellen Faktor A zu kennen, da er sich beim Bilden des Verhältnisses herauskürzt.
Grundformel
$$ t_2 = t_1 \cdot e^{\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}\right)} $$
Referenzwerte (t₁, T₁)
t₁ ist eine bekannte Halbwertszeit oder Haltbarkeit, gemessen oder angegeben bei der Temperatur T₁ (z.B. Herstellerangabe: 2 Jahre bei 25 °C).
Zielwerte (t₂, T₂)
t₂ und T₂ beschreiben die neue Situation - entweder du willst wissen, wie lange es bei einer neuen Temperatur T₂ hält (t₂ gesucht), oder bei welcher Temperatur eine gewünschte Haltbarkeit t₂ erreicht wird (T₂ gesucht).
Aktivierungsenergie (Ea)
Ea beschreibt, wie empfindlich der zugrundeliegende Prozess auf Temperaturänderungen reagiert. Je größer Ea, desto stärker wirkt sich eine Temperaturänderung auf die Haltbarkeit aus.
Woher kommt die Formel?
Für Prozesse 1. Ordnung gilt t₁/₂ = ln(2)/k. Setzt man k = A·e^(−Ea/(R·T)) für beide Temperaturen ein und bildet das Verhältnis t₂/t₁, kürzt sich sowohl ln(2) als auch A heraus - übrig bleibt die oben stehende Formel, die nur noch Ea, T₁ und T₂ enthält.
Je nachdem, welche Größe gesucht ist, wird die Formel entsprechend umgestellt. Die genauen Formeln stehen direkt im Ergebnis, hier die grobe Vorgehensweise:
t₂ oder t₁ gesucht
Direktes Einsetzen in die Grundformel bzw. ihre Umkehrung – die drei übrigen Größen (T₁, T₂, Ea) müssen bekannt sein.
T₂ oder T₁ gesucht
Erst nach 1/T auflösen, dann invertieren. Es muss geprüft werden, dass die berechnete Temperatur positiv bleibt - sonst gibt es keine physikalisch sinnvolle Lösung.
Ea gesucht
Benötigt zwei unterschiedliche Temperaturen T₁ ≠ T₂ mit bekannten Haltbarkeiten t₁ und t₂ - z.B. aus zwei Lagertests.
Zwei alltagsnahe Beispiele zeigen, wie du je nach gesuchter Größe rechnest.
Ein Medikament ist bei 25 °C (T₁) 2 Jahre (t₁) haltbar, Ea = 80 kJ/mol. Wie lange hält es sich im Kühlschrank bei 5 °C (T₂)?
Gegeben
t₁ = 2 Jahre, T₁ = 298,15 K, T₂ = 278,15 K, Ea = 80000 J/mol
Lösung
t₂ = 2 · e^[(80000/8,314)·(1/278,15 − 1/298,15)] = 2 · e^(2,32) ≈ 20,4 Jahre
t₂ ≈ 20,4 Jahre → im Kühlschrank hält es sich deutlich länger.
Ein Produkt hält bei 40 °C (T₁) nur 3 Monate (t₁), Ea = 95 kJ/mol. Bei welcher Temperatur T₂ hält es 24 Monate (t₂)?
Gegeben
t₁ = 3 Monate, T₁ = 313,15 K, t₂ = 24 Monate, Ea = 95000 J/mol
Lösung
1/T₂ = (R/Ea)·ln(t₂/t₁) + 1/T₁ = (8,314/95000)·ln(8) + 1/313,15 ≈ 0,003375 → T₂ ≈ 296,3 K
T₂ ≈ 296,3 K ≈ 23,2 °C
Reaktionsordnung nicht 1. Ordnung
Die Herleitung setzt eine Reaktion 1. Ordnung voraus (t₁/₂ unabhängig von der Konzentration). Bei anderen Ordnungen bleibt die grundsätzliche Temperaturabhängigkeit über Ea zwar erhalten, die genaue Halbwertszeit-Formel sieht aber anders aus.
Ea unsicher oder unbekannt geschätzt
Kleine Fehler in Ea wirken sich bei großen Temperaturdifferenzen stark aus (Ea steht im Exponenten). Für belastbare Aussagen sollte Ea aus echten Messungen bei mindestens zwei Temperaturen stammen, nicht geschätzt werden.
Diese Art der Extrapolation ist in der Praxis sehr verbreitet: