Berechne Konzentrationen aus Absorbanzmessungen nach dem Beer-Lambert-Gesetz – vom klassischen Einzelabsorber (1 Komponente) bis zu mehreren gleichzeitig anwesenden, spektral überlappenden Absorbern (per Matrixinversion, kleinste Quadrate), inklusive Bestimmtheitsmaß R² und Konditionszahl als Warnindikator für schlecht unterscheidbare Spektren.
Miss nach Möglichkeit an mehr Wellenlängen als du Komponenten hast (überbestimmtes System) – das macht die Lösung robuster gegen Messrauschen und liefert ein aussagekräftiges R².
Das einfache Beer-Lambert-Gesetz A = ε·c·l setzt voraus, dass nur ein einziger Absorber in der Lösung vorhanden ist. Enthält eine Probe mehrere Stoffe, deren Absorptionsspektren sich überlappen, reicht eine einzelne Absorbanzmessung nicht mehr aus, um die Konzentrationen zu trennen.
Da sich die Beiträge aller Komponenten bei jeder Wellenlänge einfach addieren (Absorbanzen sind additiv), lässt sich das Problem als lineares Gleichungssystem schreiben und per Matrixinversion (bzw. Kleinste-Quadrate-Anpassung bei mehr Messpunkten als Unbekannten) nach den einzelnen Konzentrationen auflösen.
Beer-Lambert-Gesetz für Gemische
A(λᵢ) = l · Σⱼ εⱼ(λᵢ) · cⱼ
Molarer Extinktionskoeffizient (ε)
Stoffspezifische Konstante, die angibt, wie stark eine Komponente bei einer bestimmten Wellenlänge absorbiert. Muss für jede Komponente bei jeder verwendeten Wellenlänge bekannt sein (z.B. aus einer Kalibriermessung mit den Reinstoffen).
Konditionszahl
Ein Maß dafür, wie gut sich die Komponenten anhand ihrer Spektren bei den gewählten Wellenlängen unterscheiden lassen. Eine hohe Konditionszahl bedeutet, dass sich die Spektren stark ähneln – kleine Messfehler werden dann stark verstärkt und die berechneten Konzentrationen können stark verfälscht sein. Abhilfe: andere, stärker unterscheidende Wellenlängen wählen.
Eine Lösung enthält Dichromat (Cr₂O₇²⁻) und Permanganat (MnO₄⁻) gleichzeitig. Bei 440 nm gilt ε(Cr₂O₇²⁻)=95, ε(MnO₄⁻)=2350 L·mol⁻¹·cm⁻¹, bei 545 nm ε(Cr₂O₇²⁻)=370, ε(MnO₄⁻)=2260 L·mol⁻¹·cm⁻¹. Gemessen wird A(440 nm)=0,1013 und A(545 nm)=0,1531 bei l=1 cm.
Gegeben
2×2-Gleichungssystem aus den beiden Absorbanz-Gleichungen bei 440 nm und 545 nm
Lösung
Matrixinversion liefert c(Cr₂O₇²⁻) = 2,0·10⁻⁴ mol/L und c(MnO₄⁻) = 3,5·10⁻⁵ mol/L.
Der häufigste Fehler ist die Wahl von Wellenlängen, bei denen sich die Spektren der Komponenten zu ähnlich sind (hohe Konditionszahl) – dann reagiert die Lösung extrem empfindlich auf kleinste Messfehler. Ein zweiter häufiger Fehler: ε-Werte aus unterschiedlichen Quellen/Lösemitteln zu mischen, obwohl ε lösemittel- und ggf. pH-abhängig sein kann.
So gehst du am besten vor
Wähle Wellenlängen an den Absorptionsmaxima der einzelnen Komponenten (dort ist der Unterschied zwischen den Spektren meist am größten), miss wenn möglich an mehr Wellenlängen als du Komponenten hast, und prüfe nach der Rechnung sowohl R² als auch die Konditionszahl, bevor du das Ergebnis verwendest.