Berechne den Netzebenenabstand d_hkl aus Kristallsystem, Gitterkonstanten und Millerschen Indizes (h,k,l), und löse anschließend die Bragg-Gleichung n·λ = 2·d·sin(θ) nach Beugungsordnung n, Wellenlänge λ oder Beugungswinkel θ auf.
Unterstützt werden die vier rechtwinkligen Kristallsysteme kubisch, tetragonal, orthorhombisch und hexagonal. Monokline und trikline Systeme (mit schiefwinkligen Zellen) sind aktuell nicht implementiert, da ihre d-Formel zusätzliche Kreuzterme mit den Zellwinkeln enthält.
Trifft Röntgenstrahlung auf einen Kristall, wird sie an den regelmäßig angeordneten Netzebenen der Kristallstruktur gebeugt. Konstruktive Interferenz (ein messbares Beugungssignal) tritt nur bei ganz bestimmten Winkeln auf, die von der Wellenlänge der Strahlung und dem Abstand der Netzebenen abhängen.
Die Bragg-Gleichung verknüpft diese drei Größen: den Netzebenenabstand d, den Beugungswinkel θ und die Wellenlänge λ (bei gegebener Beugungsordnung n). Der Netzebenenabstand d wiederum hängt von den Millerschen Indizes (h,k,l) der betrachteten Netzebene und den Gitterkonstanten des Kristalls ab.
Bragg-Gleichung
n·λ = 2·d·sin(θ)
Netzebenenabstand (d)
Der senkrechte Abstand zwischen zwei benachbarten, parallelen Netzebenen mit denselben Millerschen Indizes. Wird aus den Gitterkonstanten und (h,k,l) berechnet, abhängig vom Kristallsystem.
Millersche Indizes (h, k, l)
Drei ganze Zahlen, die eine Schar paralleler Netzebenen im Kristallgitter eindeutig kennzeichnen. Sie ergeben sich aus den reziproken Achsenabschnitten der Ebene mit den Kristallachsen.
Beugungswinkel (θ)
Der Winkel zwischen einfallendem Röntgenstrahl und der beugenden Netzebene (nicht zu verwechseln mit dem in Diffraktogrammen meist aufgetragenen 2θ, dem Winkel zwischen einfallendem und gebeugtem Strahl).
Natriumchlorid (NaCl) kristallisiert kubisch mit a = 5,6402 Å. Bei welchem Winkel 2θ erscheint der (200)-Reflex bei Verwendung von Cu-Kα-Strahlung (λ = 1,5418 Å)?
Gegeben
Kubisch, a = 5,6402 Å, (h,k,l) = (2,0,0), λ = 1,5418 Å, n = 1
Lösung
d = a/√(h²+k²+l²) = 2,8201 Å. Aus n·λ = 2·d·sin(θ) folgt θ ≈ 15,86°, also 2θ ≈ 31,73° – exakt der bekannte Referenzwert aus NaCl-Pulverdiffraktogrammen.
Der häufigste Fehler ist, θ mit dem in Diffraktogrammen aufgetragenen 2θ zu verwechseln – die Bragg-Gleichung selbst arbeitet mit θ, nicht 2θ. Ein zweiter häufiger Fehler: die Gitterkonstante mit falscher Einheit einzugeben (Å vs. nm vs. pm unterscheiden sich um Faktor 10 bzw. 100).
So gehst du am besten vor
Bestimme zuerst den Netzebenenabstand d aus Kristallsystem, Gitterkonstanten und Millerschen Indizes, wähle dann deine Röntgenquelle (oder trage eine eigene Wellenlänge ein) und lasse θ oder n berechnen. Prüfe bei berechnetem n, ob der Wert nahe an einer ganzen Zahl liegt – nur dann liegt ein echter Bragg-Reflex vor.
Woher stammen die Röntgenwellenlängen?
Die hinterlegten charakteristischen Kα-Wellenlängen (gewichteter Mittelwert aus Kα1/Kα2) stammen aus den International Tables for Crystallography, Vol. C, Tabelle 4.2.2.1 – dem Standardnachschlagewerk der Kristallographie für diese Werte.