Isotopen-Zerfallsketten-Rechner

Berechne mit der Bateman-Gleichung die zeitliche Entwicklung von Kernzahl und Aktivität für eine gesamte Zerfallskette gleichzeitig – nicht nur für ein einzelnes Mutter-Tochter-Paar. Wähle eine bekannte Zerfallsreihe (z. B. U-238 → Th-234 → Pa-234m → U-234 → …) oder stelle eine eigene Kette aus bis zu 8 Isotopen zusammen und sieh dir die Aktivitätsverläufe direkt im Diagramm an.

Zerfallskette eingeben

Vorausgefüllte, reale Zerfallsreihen, die du danach noch beliebig anpassen kannst. "Eigene Kette" lässt die Felder unverändert.
Anfangsmenge des ersten Isotops (Mutterisotop) zum Zeitpunkt t = 0. Alle Tochterisotope starten mit 0.

Erklärung: Zerfallsketten und die Bateman-Gleichung

Was ist eine Zerfallskette?

Viele radioaktive Isotope zerfallen nicht direkt in ein stabiles Endprodukt, sondern über eine ganze Kette von Tochterisotopen, die selbst wieder radioaktiv sind – z. B. zerfällt Uran-238 über 14 Zwischenschritte, bis am Ende stabiles Blei-206 entsteht.

Ein einfacher Halbwertszeit-Rechner beschreibt nur den Zerfall eines einzelnen Isotops. Um zu berechnen, wie viel von jedem Kettenglied zu einem bestimmten Zeitpunkt vorhanden ist, wird die Bateman-Gleichung benötigt, die Bildung (aus dem Vorgänger) und Zerfall (in den Nachfolger) jedes Gliedes gleichzeitig berücksichtigt.

Bateman-Gleichung (allgemeine Form)

Nk(t) = N₀ · (λ₁···λk−1) · Σᵢ [ e−λᵢt / Πⱼ≠ᵢ(λⱼ − λᵢ) ]

Die Größen im Überblick

Kernzahl (N)

Anzahl der Atomkerne des jeweiligen Isotops zum Zeitpunkt t. Zu Beginn (t=0) ist nur beim Mutterisotop N > 0, alle Tochterisotope starten bei 0.

Aktivität (A)

Anzahl der Zerfälle pro Sekunde (in Becquerel), berechnet als A = λ·N. Ein stabiles Endisotop hat per Definition keine Aktivität.

Zerfallskonstante (λ)

λ = ln(2) / T½ beschreibt, wie schnell ein Isotop zerfällt. Je kürzer die Halbwertszeit T½, desto größer λ und desto schneller der Zerfall.

Beispiel: Aufbau eines langlebigen Tochterisotops

In der Uran-238-Reihe zerfällt U-238 (Halbwertszeit 4,468 Milliarden Jahre) zunächst in das sehr kurzlebige Th-234 (24,1 Tage) und dann in das ebenfalls kurzlebige Pa-234m (1,17 Minuten), bevor U-234 entsteht.

Beobachtung

Weil Th-234 und Pa-234m im Vergleich zu U-238 extrem schnell zerfallen, stellt sich schon nach wenigen Monaten ein sogenanntes säkulares Gleichgewicht ein.

Ergebnis

Im säkularen Gleichgewicht sind die Aktivitäten aller kurzlebigen Kettenglieder praktisch identisch zur (nahezu konstanten) Aktivität des sehr langlebigen Mutterisotops U-238 – obwohl ihre absoluten Kernzahlen N winzig sind.

Tipps und häufige Fehler

Am häufigsten werden Halbwertszeiten in unterschiedlichen Zeiteinheiten (z. B. Minuten und Jahre) direkt gemischt eingegeben, ohne dass der Rechner das erkennt – das ist hier unproblematisch, da jede Zeile ihre eigene Einheit hat. Ein anderer typischer Fehler ist, den Startwert mit dem Endwert eines Tochterisotops zu verwechseln: Alle Tochterisotope starten immer bei N = 0.

So gehst du am besten vor

Beginne mit einer der vorgefertigten Zerfallsreihen, um das Verhalten zu verstehen, und ersetze danach schrittweise die Werte durch deine eigenen Isotope. Wähle den betrachteten Zeitraum so, dass er in der Größenordnung der kürzesten interessanten Halbwertszeit in der Kette liegt – sonst verschwindet die interessante Dynamik am Anfang der Kurve.

Wo werden Zerfallsketten berechnet?
  • Altersbestimmung von Gesteinen und Mineralien über radiometrische Datierung (z. B. Uran-Blei-Methode)
  • Abschätzung von Strahlenschutz-Risiken bei Lagerung radioaktiver Abfälle über mehrere Zerfallsschritte
  • Nuklearmedizin: Berechnung der Aktivität von Tochterisotopen bei Generator-Systemen (z. B. Mo-99 → Tc-99m)

Alle in diesem Rechner verwendeten Isotope findest du mit weiteren Eigenschaften auch in unserem Periodensystem.

Woher stammen die Halbwertszeiten der vorgefertigten Zerfallsreihen?

Die Halbwertszeiten stammen aus den Kerndaten des National Nuclear Data Center (NNDC, Brookhaven National Laboratory, ENSDF-Datenbank) bzw. den daraus abgeleiteten Wikipedia-Übersichten zu den Zerfallsreihen von Uran-238, Thorium-232 und Uran-235. Für die Uran-238-Reihe zusätzlich gegengeprüft anhand der Publikation „Radiological and Chemical Properties of Uranium“ der US-amerikanischen Nuclear Regulatory Commission (NRC). Wie bei allen Kerndaten können einzelne Werte je nach Quelle und Messkampagne in der letzten Nachkommastelle leicht variieren – für hochpräzise Anwendungen empfiehlt sich der direkte Blick in die ENSDF-Datenbank

Häufig gestellte Fragen zu Zerfallsketten

Ein Zustand, der sich einstellt, wenn das Mutterisotop eine viel längere Halbwertszeit hat als alle Tochterisotope. Nach einigen Halbwertszeiten der Tochter gleichen sich Bildungs- und Zerfallsrate jedes Kettenglieds an, sodass alle Glieder praktisch dieselbe Aktivität wie das Mutterisotop erreichen.

Damit kannst du eine Kette bewusst an einer Stelle abschneiden, an der du dich für weitere Zerfälle nicht mehr interessierst – z. B. wenn das letzte betrachtete Isotop in der Realität zwar noch weiter zerfällt, dessen Halbwertszeit für deine Fragestellung aber irrelevant lang ist.

Ohne Zerfall des Mutterisotops (λ₁ = 0) würden sich nie Tochterisotope bilden – die gesamte Rechnung wäre trivial (N bleibt konstant, alle Töchter bleiben bei 0). Der Rechner verhindert diese sinnlose Eingabe deshalb mit einer Fehlermeldung.

Die Bateman-Gleichung enthält Differenzen zwischen den Zerfallskonstanten im Nenner. Sind zwei Halbwertszeiten identisch, wird durch 0 geteilt – mathematisch existiert für diesen Grenzfall eine eigene (kompliziertere) Formel, die dieser Rechner nicht abbildet. Meist reicht es, einen der beiden Werte um einen winzigen Betrag zu ändern, um eine praktisch identische, aber numerisch stabile Lösung zu erhalten.

Nein, aktuell wird nur eine lineare Kette ohne Verzweigungen unterstützt (jedes Isotop hat genau einen Nachfolger). Reale Zerfallsreihen wie die von U-238 haben an einzelnen Stellen kleine Verzweigungen mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit, die hier vernachlässigt werden.